차동 -이 무엇입니까? 어떻게 함수의 차이를 찾는 방법은?

파생 상품과 함께 그 기능 차이 - 그것은 기본 개념의 일부 차동 미적분학의 메인 섹션 수학적 분석. 불가분하게 연결로, 둘 다 몇 세기 널리 과학 기술 활동의 과정에서 발생한 거의 모든 문제를 해결에 사용됩니다.

차이의 개념의 출현

처음으로 분명히 그러한 차동 (Isaakom Nyutonom와 함께) 창시자 중 하나 차동 미적분 독일의 유명한 수학자 곳 프리드 Vilgelm Leybnits했다. 그것은 17 세기 수학자하기 전에. 함수 간단히 할 수있는 값 이하로 매우 작은 상수 값하지만 0이 아닌을 나타내는 임의의 공지 된 기능의 일부 무한 "전적인"매우 불투명하고 모호한 개념을 사용했다. 따라서 그것은 함수 인수, 후자의 유도체로 표현 될 수있는 기능의 각 단위의 미소 한 단위의 개념을 도입하는 하나 개의 공정이다. 그리고이 단계는 거의 동시에 위의 두 위대한 과학자를 촬영했다.

과학을 직면 긴급 실제 역학 문제를 해결하기 위해 필요에 따라 신속하게 산업과 기술 개발, 뉴턴과 라이프니츠는 이러한 개념의 도입을 주도, (특히 알려진 궤도의 몸의 기계적 속도와 관련하여) 변화의 속도의 기능을 찾는 일반적인 방법을 만들어 미분 함수와 차분으로하고, 또한 자체 공지 (변수) 등의 알고리즘 역 문제 솔루션 통합의 개념을 이끌었다 경로를 찾기 위해 이송 속도를 발견 알라.

ΔH가 성공적으로 후자의 값을 계산에 적용 할 수 Δu도 기능을 증가 기본적인 인수의 증가에 비례 - 라이프니츠와 뉴턴의 아이디어의 작품에서 먼저는 차이가 있음을 보였다. ΔH → 0에 경향 나머지 부분 - 즉, 그들은 그 유도체 Δu도 = Y '(x)가 ΔH + αΔh α ΔH 모두를 통해 표현 된 증가 함수 (정의 그 도메인 내에서) 임의의 지점에있을 수 있다는 것을 발견했다 0, 실제 ΔH보다 훨씬 더 빨리.

수학적 분석의 창시자에 따르면, 차이 -이 정확히 어떤 기능 단위의 첫 번째 용어입니다. 비록 명확하게 정의 된 한계 개념 서열 미분의 미분 값이 작동하는 경향이 직관적으로 이해하지 않고도 언제 ΔH → 0 - Δu도 / ΔH → Y '(X).

주로 물리학 및 물리적 문제를 연구하기위한 보조 수단으로 간주했다 수학적 장치 뉴턴 달리 니츠 시각과 이해 수학적 기호 값의 시스템을 포함하는 이러한 키트에 더 주목. 이것은 미분 함수 (DY)의 표준 표기법을 제안 = Y '(x)는 DX, DX, 그들의 관계의 예로서 인수 함수의 도함수'(X) = DY / DX 누가 그이었다.

현대 정의

현대 수학의 측면에서 차이는 무엇인가? 그것은 밀접 가변 증분의 개념에 관한 것이다. 변수 Y = _1, Y (Y)의 제 1 값을 _취하면, Y는 Y ₂ 차분 ─ Y _2, Y ₁ 증분 값 y = 불린다. 증분은 긍정적이 될 수 있습니다. 마이너스 제로. 단어 "증분"( '델타 Y'로 표시) 기록 Δ, Δu도 지정된 증분 (Y)의 값을 나타내고있다. 그래서 Δu도 = _2, Y _1, Y _─.

값 Δu도 임의 함수 Y = F (X)의 A가 ΔH에는 의존성 t 없다 Δu도 = A ΔH + α로서 표현 될 수있는 경우. 주어진 x의 E. A = CONST 및 용어 α ΔH → 0 경향 때 그것은 붙이고, 더욱 빠르게 실제 ΔH, 다음 제 ( "마스터") 용어 비례보다 ΔH이고, Y = F (x)를 미분위한 (DY) 또는 DF (x)는 ( "Y 드", "드 EFF X로부터"판독). 따라서 미분 -는 "메인"선형 단위 ΔH 기능의 구성 요소에 대하여.

기계 설명

이동 직선 거리 - (S)는 F (t) =하자 질점을 (- 이동 시간 t)의 초기 위치로부터한다. 단위 ΔS는 - 시간 간격 ΔT 동안의 중간 지점이며, 상기 차동 DS는 F = - (t) '(t) ΔT는 속도 (F)를 유지하는 경우,이 경로 점은 같은 시간 동안 유지 될 것이다 ΔT', 시간 t에 도달 . 극소 ΔT ds는 가상 경로가 실제 ΔS가 극소 ΔT에 대하여보다 높은 차수를 갖는 상이한 경우. 시각 t에서의 속도가 제로가 아닌 경우, 근사값의 DS는 작은 바이어스 점을 준다.

기하학적 해석

라인 L은 Y = F (X)의 그래프이다하자. 이어서 Δ X = MQ, Δu도 = QM을 '(참조. 아래 그림). 접선 MN은 Δu도 두 부분, QN 및 NM '로 잘라 나누기. 제 ΔH가 비례 QN = MQ는 TG (각도 QMN) = ΔH의 F '(x)는, t. E QN은 DY 차동 ∙이다.

ΔH → 0 NM 길이가 '더 빨리 인수의 증가보다 감소 차이 Δu도 NM'daet ─ (DY)의 두 번째 부분은 ΔH보다 소의 순서를 가지고 즉. 이 경우, F '(X) ≠ 0 (비평 접선 OX) 세그먼트 QM'i QN 동등한 경우; 환언 NM은 '전체 증분 Δu도 = QM보다 (보다 그것의 소 순서) 급속하게 감소한다.' 이 그림 (접근 세그먼트 m ° K에 M NM'sostavlyaet 모든 작은 비율 QM '세그먼트)에 분명하다.

따라서, 임의의 그래픽 함수의 접선의 종축의 증가와 동일하다 차동.

파생 상품 및 차동

발현 증가 함수의 첫 번째 항에서의 계수의 미분 F '(x)의 값과 동일하다. 따라서, 다음 관계 - DY = F (x)가 ΔH '(x)가 ΔH 또는 DF (x)는 F =은'.

이는 독립적 인 인자의 증가는 차분 ΔH = DX 같다고 알려져있다. 이에 따라 작성할 수 F '(X) = DX, DY를.

(때때로 "결정"이라고) 차이 찾는 것은 파생 상품과 동일한 규칙에 의해 수행된다. 그 목록은 아래와 같습니다.

무엇보다 보편적 : 인수 또는 차동의 증가

여기 몇 가지 해명을 할 필요가있다. 대표 값 F '(x)를 미분 ΔH 가능한 인자로서 X를 고려할 때. 그러나, 함수는 x는 인수 t의 함수일 수있는 복잡 할 수있다. 그 후 F '(x)가 ΔH의 차동 식의 표현은, 원칙적으로는 불가능하다; + B에서의 선형 의존성 = X의 경우를 제외.

화학식 F에 관해서 "(X) = 다음의 X t의 파라미터 의존성의 경우 독립적 인 인자 X의 경우 (다음 DX = ΔH)에서는, 차동 DY DX이다.

예를 들어, 식 (2)는 X ΔH (Y) = X ^2, X는 인수 인 그 차에 대한 것이다. 우리는 지금 X = t ^2, t 인수를 가정합니다. 그 다음, Y = X ² = t ^(4).

이것은 (t + ΔT) ² = t + ² + ΔT 2tΔt ^{2 이어진다.} 따라서, ΔH = + ΔT 2tΔt ^2. 따라서 : 2xΔh 2t = ² (2tΔt ΔT + ^2).

이 표현은 ΔT에 비례하지 않으며, 따라서 현재는 차동 2xΔh 아닙니다. 이것은 방정식 Y = X ² = t ^(4)로부터 볼 ^수있다. 그것은 동일한 DY = 4t ³ ΔT이다.

우리가 식 2xdx 걸릴 경우, 모든 인수 t에 대한 차분 Y (X) = ^2이다. 실제로, t = X ² = DX 2tΔt를 얻을 때.

그래서 2xdx = 2t = ² 2tΔt 4t ³ .DELTA.t, t. 두 가지 변수에 의해 기록 된 발현 차이가 일치 E..

단위 차이를 교체

만약 F '(X) ≠ 0이면 Δu도 및 DY 당량 (ΔH 때 → 0); F '(X) = 0 (의미 DY = 0) 경우, 그들은 동등하지 않다.

예를 들어, = (X + ΔH) ² ─ × ² = + ΔH 2xΔh Δu도 ^{2 그리고,} X = ² 및 Y = DY 경우 2xΔh. X = 0의 값 = ΔH Δu도 ² 및 DY = 0은 동일하지 않은 경우, X = 3 인 경우에, 우리는 ΔH ² → 0 인해 동일 Δu도 6Δh = ΔH + ² 및 DY = 6Δh을 갖는다.

이 사실은 함께 차동 간단한 구조 (m. ΔH에 대하여 E. 직선)은 종종 가정하여, 근사 계산에 사용되는 작은 ΔH 용 Δu도 ≈ DY있다. 차동 기능은 일반적으로 증가의 정확한 값을 계산하는 것보다 쉽게 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 우리는 가장자리에 금속 큐브가 X = 10.00 cm. ΔH = 0.001 cm. 증가하는 방법 볼륨 큐브 V에 연장 가장자리를 가열에? ^우리는 V = × ^{2가되도록의} dV = 배 ² = ΔH 3 ∙ ∙ 0 10 ^{2월 1일} = 3 (cm ^3). 증가 ΔV 등가 차동 DV,되도록 ΔV = 3cm ^3. 전체 계산은 ³ ΔV = 10,01 ─ 년 3 월 ¹⁰ = 3.003001을 줄 것입니다. 그러나 첫 번째 신뢰할 수없는 제외한 모든 숫자의 결과; 따라서 3cm ³ 반올림 여전히 ^{필요하다.}

물론,이 방법은 오류가 부여 값을 추정 할 수있는 경우에만 유용합니다.

차동 기능 : 예

의는 파생 상품을 찾는 ^함수 y를 = × ^3의 차이를 찾아 봅시다. 우리가 인수 증가 Δu도를 포기하고 정의 할 수 있습니다.

ΔU = (ΔH + X) ⁽³⁾ ─ × ³ = ² 배 + ΔH (ΔH 3xΔh ² + ^3).

첫 번째 항은 비례 ΔH 다른 부재 3xΔh ΔH ² + ^{3이되도록} 여기서, 계수 A = ² 배, ΔH에 의존하지 않는다 ΔH → 0 인수의 증가보다 빠르게 감소 할 때. 따라서, ² 배 ΔH의 부재는 Y = X ^(3)의 차이는 ^:

DY = ² 배 ΔH = DX ² 배 또는 D (× ³⁾ = ² 배 DX.

상기 D (× ³⁾ / DX = 배 ^2.

DY 우리는 지금 찾기 기능 Y = 1 / X 유도체에 의해. 이어서 D (1 / X) / ─1 DX = X / ^2. 따라서 DY = ─ ΔH / × ^2.

기본 대수 기능은 다음과 같음 차이.

차동 연산을 사용하여 대략

함수 F (X)를 평가하고 그 유도체 F '(x)는 X = A 종종 어렵지만, X = (A)의 근방에 동일한 기능을 수행하기에 용이하지 않다. 그런 다음 근사 식의 도움에 와서

F (a + ΔH) ≈의 F '(a)의 ΔH + F (a).

이것은 그 차분 ΔH의 F '(a) ΔH 통해 조금씩의 함수의 근사치를 제공한다.

따라서,이 수식 부 (X = A)와 동일한 시점에서, 차동의 시작점에서 그 값의 합과 같은 길이 ΔH의 일부의 종점에서 함수의 근사 식을 제공한다. 함수의 값을 결정하기위한 방법의 정밀도는 아래의 도면을 도시한다.

그러나 공지 화학식 유한 씩 주어지는 함수 X = A + ΔH의 값에 대한 정확한 표현 (또는 대안 적으로, 화학식 라그랑)

F (a + ΔH) ≈ F '(ξ)의 ΔH + F (a)

점 (X) = A + ξ는, X = (A)로부터 X = A + ΔH의 간격이고 정확한 위치가 알려지지 않는다. 정확한 공식은 대략적인 공식의 오류를 평가할 수 있습니다. 이 정확 중단하지만, 원칙적으로, 차동 측면에서 원래의 표현보다 훨씬 더 나은 방법을 제공하지만, 우리는 라그랑주 공식 ξ = ΔH / 2에 넣어합니다.

차등 적용함으로써 평가 식 오류

측정 장비 원칙적으로, 부정확하고 오류에 해당하는 측정 데이터를 가져온다. 그들은 제한 특징 절대 오차를 명확히 (많아야 그것에 OR)의 절대 값의 오차를 초과하는 양성 - 한계 에러 짧은 또는. 제한 상대 오차하여 측정 된 값의 절대 값으로 나눈 몫 불린다.

하자 정확한 식 Y = F (x)의 함수 vychislyaeniya y를 사용하지만, x의 값은 측정 결과이며, 따라서 Y 오류를 가져온다. 이어서, 상기 식을 이용하여 제한 절대 오차 │Δu│funktsii의 예를 찾을

│Δu│≈│dy│ = │ '(x)는 F ││Δh│,

어디 │Δh│yavlyaetsya 한계 오류 인수. │Δu│ 양으로 위쪽으로 올림되어야 부정확 계산 자체는 차분 계산에서 증분의 교체이다.