선형 및 일차 균질 미분 방정식. 솔루션의 예

나는 우리가 미분 방정식으로 영광스러운 수학적 도구의 역사와 함께 시작한다고 생각합니다. 모든 미적분과 마찬가지로,이 방정식은 17 세기 후반에서 뉴턴에 의해 발명되었다. 그는로 번역 될 수 오늘날에도 암호화 된 메시지는 다음과 너무 중요 그의 발견 믿었다 ". 미분 방정식에 의해 설명 자연의 모든 법칙을" 그것은 과장을 보일지도 모르지만, 그건 사실이야. 물리학, 화학, 생물학의 모든 법은 이러한 방정식에 의해 설명 될 수 있습니다.

미분 방정식의 이론의 개발과 제작에 엄청난 기여는 오일러와 라그랑주의 수학을 가지고있다. 이미 18 세기에 그들은 발견 지금은 고위 대학 과정에서 공부하고 무엇을 개발했다.

미분 방정식의 연구에 새로운 이정표 앙리 Puankare에 감사를 시작했다. 공간 및 속성의 과학 - 그는 토폴로지의 기초에 크게 기여 복잡한 변수의 함수의 이론과 결합하는 "미분 방정식의 질적 이론"을 만들었습니다.

미분 방정식은 무엇입니까?

많은 사람들이 문구 두려워 "미분 방정식". 그러나이 문서에서 우리는 구체적으로 실제로는 제목에서 보이는 것처럼 복잡하지 않습니다이 매우 유용한 수학적 도구의 본질을 설정합니다. 1 차 미분 방정식에 대한 이야기를 시작하려면 먼저 본질적으로이 정의와 관련된 기본 개념에 익숙해 있어야합니다. 그리고 우리는 차와 함께 시작합니다.

미분

많은 사람들이 고등학교 이후이 용어를 알고있다. 그러나, 아직 세부 사항에 연연. 함수의 그래프를 상상해. 우리는 그 구분의 직선이되는 정도까지를 증가시킬 수있다. 그것은 서로에 무한히 가까운 두 점을 할게요. 이들 좌표 (X 또는 Y)의 차이는 무한하다. 그리고 차동이라고하며 문자 DY (Y의 차이)와 DX (X의 차이)를 나타낸다. 차이가 궁극적 값이 아닌 것을 이해하는 것이 중요하며, 이것은 의미와 주요 기능입니다.

그리고 지금 우리가 미분 방정식의 개념을 설명 할 필요가 다음과 같은 요소를 고려해야합니다. 이 - 파생.

파생물

우리 모두는 학교와이 개념에 들어 있어야합니다. 성장 또는 기능의 감소 속도입니다 - 그들은 유도체는 말한다. 그러나이 정의는 더 복잡해진다. 우리가 차이의 파생 용어를 설명 해보자. 의는 서로 최소 거리에있는 두 지점으로 다시 미소 간격 기능에 가자. 그러나 심지어이 거리의 기능을 넘어 어떤 값으로 변경하는 시간입니다. 그리고, 그 변화를 설명하고, 그렇지 미분의 비율로 작성 될 유도체로 올 (X) '= DF / F DX.

지금은 파생 상품의 기본 속성을 고려할 필요가있다. 세 가지에만있다 :

1. 미분 합 또는 차 유도체의 합 또는 차로서 표현 될 수있다 : (a + b) + (B ') 및 (AB)'= A'-B ''는이 = '.
2. 두번째 특성은 승산 접속되어있다. - 다른 파생물 미분 한 함수의 일의 합이다 : (a *의 b) + B * A * B를 ''는이 = '.
3. 차이의 유도체는 다음 식과 같이 쓸 수있다 : (a / b) '= (A'* * 바의 B ') / (B) ^2.

이러한 모든 기능은 첫 번째 순서의 방정식을 차동 솔루션을 찾는 데 편리.

또한, 편미분있다. 우리는 변수들 x 및 y에 의존 Z의 함수를 가정한다. 이 함수의 편미분을 계산하기 위해, 예를 들어, X, 우리는 일정하고 쉽게 구분을위한 변수 (Y)를 취할 필요가있다.

완전한

또 다른 중요한 개념 - 필수. 실제로 그 유도체의 반대이다. 적분은 여러 종류 있지만, 미분 방정식의 간단한 솔루션, 우리는 가장 사소한 필요 부정 적분을.

그래서, 적분을 무엇인가? 이제 우리는 X의 F 어떤 관계가 있다고 가정 해 봅시다. 우리는 그것으로부터 적분 받아 원본 함수의 유도체 인 함수 F (X) (이것은 종종 프리미티브 (primitive)라고한다)를 얻었다. 따라서, F (X) '= F (X). 이것은 또한 유도체의 적분 원래 기능 같다는 것을 의미한다.

미분 방정식을 해결에서 매우 자주 해결책을 찾기 위해 그들을을해야하기 때문에, 적분의 의미와 기능을 이해하는 것이 매우 중요합니다.

방정식은 그 성격에 따라 다르다. 다음 섹션에서 우리는 첫 번째 순서 미분 방정식의 유형을보고하고이를 해결하는 방법을 배우게됩니다.

미분 방정식의 클래스

"Diffury은"그들과 관련된 파생 상품의 순서로 나눈. 따라서 제 1, 제 2, 제 3 또는 그 이상의 순서가있다. 일반 및 부분 : 그들은 또한 여러 종류로 나눌 수 있습니다.

이 글에서, 우리는 첫 번째 순서의 상미 분 방정식을 고려할 것입니다. 예 및 솔루션 우리는 다음 절에서 설명합니다. 이 방정식의 가장 일반적인 유형이기 때문에 우리는 단지 TAC를 고려한다. 일반 아종으로 분할 : 동종 및 이종 분리 변수로. 다음 당신은 그들이 서로 다른 방법을 학습하고이를 해결하는 방법을 배우게됩니다.

우리가 첫 번째 순서의 미분 방정식의 시스템을 얻을 후 수 있도록 또한, 이러한 방정식은, 결합 될 수있다. 이러한 시스템은, 우리는 또한보고 해결하는 방법을 배웁니다.

왜 우리는 첫 번째 순서를 고려하고있다? 그것은 하나의 문서에 간단한 시작하여 미분 방정식과 관련된 모든 것을 설명 할 필요가 있기 때문에 불가능하다.

분리 변수와 방정식

이것은 아마도 가장 간단한 일차 미분 방정식이다. Y '= F (x)는 F * (Y)은 이들과 같이 쓸 수있다 예이다. Y '= DY / DX이 방정식을 해결하기 위해 우리는 미분의 비율로 미분 표현 식을 필요로한다. DY / DX = F (x)는 F * (Y) 그것으로 우리는 방정식을 얻었다. 이제 우리는 표준 사례를 해결하는 방법을 설정할 수 있습니다 : 별도의 변수를 부분, 즉 빨리 감기 모든 변수 Y를 마구이 부분에서, 또한 변수 x를 만들 ... DY / F (Y) = F (x)는 DX, 두 부분의 적분을 취함으로써 달성된다 : 우리는 폼의 방정식을 얻었다. 당신이 통합 후 넣어 원하는 일정에 대해 잊지 마세요.

어떤 "diffura"용액은 - (우리의 경우)에 의해 X (Y)의 함수이며, 수치 또는 조건이있는 경우, 해답은 다수이다. 우리가 구체적인 예에게 결정의 전 과정을 살펴 보자 :

Y '= 2Y * 죄 (X)

서로 다른 방향으로 변수를 이동 :

DY / Y = 2 * 죄 (X) DX

이제 적분을. 그들 모두는 적분의 특별한 테이블에서 찾을 수 있습니다. 그리고 우리는 얻을 :

LN (Y) = -2 * COS (X) + C

필요한 경우, 우리는 "X"의 함수로 "Y"를 표현할 수 있습니다. 이제 우리는 조건을 지정하지 않으면 우리의 미분 방정식이 해결되는 것을 말할 수있다. 예를 들어, Y (N / 2) = 예를 들어, 조건을 지정할 수있다. 그럼 우리는 단순히 결정에 이러한 변수의 값을 대체 상수의 값을 찾을 수 있습니다. 우리의 예에서는 1입니다.

균질 일차 미분 방정식

이제 더 복잡한 부분에. Y '= Z (X, Y) : 제 균질 미분 방정식은 다음과 같이 일반적인 형태로 기록 될 수있다. 두 변수의 적절한 기능이 균일 주목해야하며, 그에 따라 두 가지로 나눌 수없는, Z의 X 및 Y의 Z. 식 균질인지 아닌지를 확인하기 매우 간단하다 : 우리는 교체 X = K *의 X 및 Y = K * y를 만들. 이제 우리는 모두 K를 잘라. 이 편지가 삭제 된 경우, 방정식은 균일하고 안전하게 자사의 솔루션으로 진행할 수 있습니다. 앞서 찾고, 우리는 말 :이 예제의 솔루션의 원리는 매우 간단하다.

, Y =의 t (x)를 * 여기서 x t - 또한 X에 의존하는 기능 : 우리는 교체해야합니다. Y '= t'(x)는 X * t + : 다음 우리는 유도체를 표현할 수있다. 오리지널 방정식이 모든에 대입하고 단순화, 우리는 X와 같은 변수 t의 분리의 예를 갖는다. 이를 해결하고 t (X)의 의존성을 얻었다. 우리가 도착했을 때, 단순히 이전 대체 Y = t (X) * X를 대체합니다. 그리고 우리는 X에서 Y의 의존성을 구하십시오.

그것은 명확하게하기 위해, 우리는 예를 이해한다 X의 *의 Y '= YX * 전자 Y / X를.

모든 감소의 교체를 검토. 그래서, 방정식은 정말 균질. 이제 또 다른 교체, 우리가 이야기 : Y =의 t (X) * x와 y '= t'(X) * X + t (X). 단순화 후에 다음 식 : t '(x)는 X * = -e의 t. 우리는 분리 된 변수 샘플을 얻을하기로 결정하고 우리가 ^{얻을 : 전자 -t = LN (C의 *의} X)를. 우리는에 의해 t를 교체해야 Y / X (y는 t의 *의 X를 = 있다면, t는 = 때문에 Y / X), 우리는 ^답을 얻을 ^{: 전자 -y / X = LN (} X의 *의 C).

제 순서 선형 미분 방정식

그것은 또 다른 광범위한 주제를 고려하는 시간이다. 우리는 이기종 일차 미분 방정식을 찾을 것입니다. 그들은 어떻게 이전 두 다릅니 까? 현실을 직시하자. 방정식의 일반 형태의 제 선형 미분 방정식 따라서 기록 될 수 Y '+ g (X) * Y = Z (X). 는 Z (x)와 g (X)는 정수 값이 될 수있는 것이 분명 할 것이다.

- Y * X = Y ': 여기 예가 X ^2.

이 해결하는 방법은 두 가지가 있으며, 우리는 우리가 둘 다 살펴 보자 주문. 제 - 임의의 상수 변형 방법.

이와 같이 수식을 해결하기 위해, 제로 제 우측 동일시 한 부분의 전송 된 후 생성 된 방정식을 풀 필요가있다 :

Y '= Y에서의 X *;

DY / DX = Y *의 X;

DY / Y는 = xdx을;

LN | Y | X = ^2/2 + C;

Y = E ^{× 2 / 2} * ^C에서 Y = C * ₁ 전자 ^{(X2) / 2.}

지금은 우리가 발견 할 것이다 함수 V (X)에 상수 C _1을 대체하는 것이 필요하다.

Y = V * 전자의 ^{2 배 / 2.}

교체 유도체를 그립니다

^{Y '= V'* 전자 X2} / ^2의 -x * 브이 * E는 ^{X2 / 2.}

그리고 원래의 방정식에 이러한 식을 대체 :

V '* 전자 ^{X2 / 2} - X * V * 전자의 ^{2 배 / 2} + X * V *의 전자 ^{(X2) / 2} = X ^2.

당신은 두 용어의 왼쪽 감소되는 것을 볼 수 있습니다. 몇 가지 예는 발생하지 않았다 경우에, 당신은 뭔가 잘못 했어요. 우리는 계속 :

V '* E ^{× 2 / 2} = X ^2.

이제 우리는 당신이 변수를 분리하려는 일반적인 방정식을 해결 :

DV / DX = X ^{2 /} 전자 ^(X2) / ^2이고;

DV = X ⁽²⁾ * E ^{- X2 / 2} DX.

적분을 제거하기 위해, 우리는 여기 부품으로 통합을 적용해야합니다. 그러나,이 글의 주제되지 않습니다. 당신이 관심이 있다면, 당신은 이러한 작업을 수행하기 위해 스스로 배울 수 있습니다. 그것은 어려운 일이 아니다, 충분한 기술과주의 시간이 소요되지 않습니다.

베르누이있어서, 상기 두 번째 방법에 불균일 방정식의 해법을 참조. 어떤 접근 방식은 빠르고 쉽게 - 그것은 당신에게 달려 있습니다.

Y = K * 노말이 방법 해결 때, 우리는 교체 할 필요가있다. 여기서, K와 N - 일부 기능은 X에 따라. '= K'+ K * N *의 않음 예 : 다음 유도체는 같을 것이다. 식에서 대체 개의 치환체 :

K '* N + K *에서의 N '+ X * K * N의 X = ^2.

그룹 최대 :

K '* N + k 값 * ( N'* N + X) = X ^(2).

지금은 그 괄호에, 제로로 동일시하는 것이 필요하다. 당신이이 결과 방정식을 결합하면 이제, 우리는 첫 번째 순서 미분 방정식의 시스템이 해결해야 얻을 :

N '+ X * N = 0;

K '= N * (X) ^2.

첫 번째 평등에서는 일반적인 방정식을 결정한다. 이렇게하려면 변수를 분리해야합니다

DN / DX = X * V;

DN / N = xdx.

우리는 통합을 우리는 얻을 : LN (N) = X ^2/2. 그런 다음, 우리는 N 표현하는 경우 :

N = E ^{× 2 / 2.}

이제 제 방정식 생성 방정식을 대체 :

K '* E는 ^{X2 / 2} = X ^2.

그리고 우리는 첫 번째 방법과 같은 식을 구 바뀌는 :

DK = X ^{2 /} E ^{× 2} / ^2.

우리는 또한 추가 조치를 논의하지 않을 것이다. 처음으로 일차 미분 방정식에 솔루션은 상당한 어려움이 발생했다고한다. 그러나, 주제에 깊은 몰입이 더 나아지기 시작한다.

어디 미분 방정식은?

매우 활성 차동 거의 모든 기본적인 법률은 미분 형태로 작성 물리학에서 사용되는 방정식, 그리고 우리가 보는 그 수식, - 이러한 방정식에 대한 해결책을. 화학, 그들은 같은 이유로 사용됩니다 기본 법칙이 그들을 통해 파생됩니다. 먹이 - 생물학에서 미분 방정식은 육식 동물과 같은 시스템의 동작을 모델링하는 데 사용됩니다. 또한, 미생물의 예를 들어, 식민지를 재생의 모델을 만드는 데 사용할 수 있습니다.

미분 방정식은 생활에 도움이로?

이 질문에 대한 대답은 간단하지 : 아무것도. 당신은 과학자 또는 엔지니어하지 않은 경우, 그들이 도움이 될 것 같지는 않다. 그러나 무엇 미분 방정식을 알고 상처는 전체 발전을 위해 해결하지. 그리고 아들이나 딸의 문제 "무엇 미분 방정식?" 막 다른 골목에 투입하지 않는다. 당신은 과학자 또는 엔지니어 경우 음, 당신은 어떤 과학이 주제의 중요성을 알고있다. 그러나 가장 중요한 것은, 지금 질문하는 것이 "어떻게 첫 번째 순서의 미분 방정식을 해결하기 위해?" 당신은 항상 대답 할 수있을 것입니다. 당신이 무엇을 명하는 알아낼도 두려워 것을 깨닫게 때 동의, 항상 좋은 것입니다.

연구의 주요 문제

이 주제에 대한 이해의 가장 큰 문제는 통합과 분화 기능의 나쁜 습관이다. 당신이 불편 파생 상품과 적분을 가정하면, 통합과 분화의 다른 방법을 배우고, 배우고 더 아마 가치가있다, 단지 다음 문서에서 설명 된 재료의 연구를 진행합니다.

어떤 사람들은 이전에 (학교에서), 그 DX가 전송 될 수 있습니다 놀라시있는 분수 DY / DX는 불가분이라고 주장했다. 그럼 당신은 파생 상품의 문학을 읽을 필요하고 방정식을 해결 조작 할 수 무한히 작은 수량의 태도는 것을 이해합니다.

이 종종 기능 또는 neberuschiysya 필수이며,이 망상이 그들에게 많은 문제를 제공합니다 - 많은 사람들이 바로 첫 번째 순서의 미분 방정식의 솔루션을 실현하지 않습니다.

다른 무엇이 더 잘 이해하기 위해 연구 할 수 있는가?

그것은 비 수학 전문의 학생들을위한 수학적 분석, 예를 들어, 전문 교과서의 차동 수학의 세계에 더 몰입을 시작하는 것이 가장 좋습니다. 그런 다음보다 전문적인 문헌으로 이동할 수 있습니다.

차동뿐만 아니라, 여전히 적분 방정식이있다,라고, 그래서 당신은 항상을 위해 노력하는 것이 어떤 공부를해야합니다.

결론

우리는이 기사를 읽은 후 당신은 미분 방정식이 올바르게 해결하는 방법 어떤 아이디어가되기를 바랍니다.

어떤 경우에는, 인생에서 우리에게 유용한 어떤 방법으로 수학. 그것은 어떤없이 모든 사람, 손이없는 등의 논리와 관심을 개발하고 있습니다.