선형 대수 방정식의 시스템. 선형 대수 방정식 균질 시스템

학교에서, 우리 각자는, 확실히, 방정식의 시스템 방정식을 공부하고. 하지만 많은 사람들이 그들을 해결하기 위해 여러 가지 방법이 있다는 것을 알고있다. 오늘 우리는 두 개 이상의 방정식으로 구성되어 선형 대수 방정식의 시스템을 해결하기 위해 정확하게 모든 방법을 볼 수 있습니다.

이야기

오늘 우리는 방정식 시스템을 해결의 예술은 고대 바빌론과 이집트에서 유래 것을 알고있다. 그러나, 그들의 익숙한 형태의 평등 영어 수학자 기록에 의해 1556 년에 도입되었다 등호 "="의 발생 후에 우리에게 나타났다. 그런데,이 기호는 이유로 선택 하였다 : 두 개의 평행 한 동일 세그먼트를 의미한다. 실제로, 평등의 좋은 예가 나타나지 않습니다.

현대 문자의 설립자이자 알 수없는 정도의 상징, 프랑스의 수학자 Fransua 베트남. 그러나, 그 지정은 오늘부터 크게 다르다. 예를 들어, 알 수없는 수의 광장 그는 편지 Q (. 위도 "quadratus"), 그리고 큐브 지정 - (. 위도 "CUBUS") 문자 C. 이 기호는 이제 불편 보이지만, 다음이 선형 대수 방정식의 시스템을 작성하는 가장 직관적 인 방법이었다.

그러나, 용액의 일반적인 방법의 단점은 수학자 포지티브 뿌리 만 고려한이었다. 아마도 이것은 음의 값은 어떤 실용적인 응용 프로그램이없는 때문이다. 한 가지 방법 또는 다른,하지만 첫 번째는 음의 뿌리는 16 세기의 이탈리아 수학 니콜로 타르테글리아, 제롤라모 카르다노와 라파엘 봄벨리 후 시작 간주합니다. 현대적인 모습, 해결의 주요 방법 차 방정식을 (판별을 통해)은 데카르트와 뉴턴의 작품을 통해 만 17 세기에 설립되었습니다.

18 세기 스위스의 수학자의 중간에 가브리엘 크래머 쉽게 선형 방정식의 시스템의 솔루션을 만들 수있는 새로운 방법을 발견했다. 이 방법은 나중에 그의 이름을 따서 명명되었으며,이 날에 우리는 그것을 사용합니다. 그러나 잠시 후에 Kramer의 이야기의 방법에,하지만 지금 우리는 시스템과 별도로 선형 방정식과 해결 방법에 대해 설명합니다.

선형 방정식

선형 방정식 - 변수 (S)가 간단한 식. 그들은 대수에 속한다. 선형 방정식은 ₁ * _1, X + _{2 * 2} + X ... X 및 _N * _N = B : 다음과 같은 일반적인 형태로 기록. 이 양식의 제출 우리는 시스템의 준비에 필요에 행렬 것입니다.

선형 대수 방정식 시스템

이 용어의 정의는 다음과 공통 미지수 일반적인 해결책이 수식들의 세트. 일반적으로 학교에서 모든 둘 또는 세 개의 방정식 시스템을 해결했다. 그러나 네 개 이상의 구성 요소와 시스템이있다. 의 그래서 나중에 그것을 해결하기 편리하다고 그들을 작성하는 방법을 먼저 살펴 보자. 그래서 1,2,3 및 모든 변수는 대응하는 인덱스 (X)로 표시된 경우 먼저, 선형 대수 방정식의 시스템은 더 잘된다. 둘째, 정규형의 모든 식을 유도한다 : ₁ * _1, X + _{2 * 2} + X ... X 및 _N * _N = B.

모든 단계 후에, 우리는 어떻게 선형 방정식의 시스템의 솔루션을 찾는 방법을 알려 시작할 수 있습니다. 그 대단히 편리 매트릭스에 올 것이다.

매트릭스

매트릭스 - 행과 열로 구성된 테이블, 그 요소는 자신의 교차점에있다. 이것은 특정 값이나 변수 중 하나가 될 수 있습니다. 대부분의 경우, 첨자 (예를 들면, ₁₁ 또는 _23도)의 아래에 배치되는 요소를 지정한다. 열 - 제 색인은 행 개수와 두 번째를 나타낸다. 위의 다른 어떤 수학적 요소로 위 매트릭스는 다양한 작업을 수행 할 수 있습니다. 따라서, 당신은 할 수 있습니다 :

1) 빼기 테이블의 동일한 크기를 추가한다.

2) 임의의 개수의 행 벡터 또는 행렬을 곱한다.

3) 트랜스 : 열에 매트릭스 행 변환 및 열 - 스티치이다.

행의 수는 그 중 하나의 열을 다른 개수와 동일한 경우 4)에서, 행렬 곱.

그들은 미래에 우리에게 유용으로, 구체적으로 이러한 모든 기술에 대해 논의합니다. 뺄셈과 행렬의 추가는 매우 간단합니다. 우리는 같은 크기의 행렬을 가지고 있기 때문에, 하나 개의 테이블의 각 요소는 모든 다른 요소에 관한 것이다. 따라서 우리는 (빼기)이 요소의 두 (그들이 그들의 행렬에 같은 땅에 서 있었다 것이 중요합니다)를 추가합니다. 매트릭스 또는 벡터의 수를 곱한 경우는 단순히 그 수 (또는 벡터) 행렬의 각 요소를 곱한다. 조옮김 - 매우 흥미있는 과정. 태블릿 또는 전화의 방향을 변경하는 경우, 예를 들어, 실제 생활에서 그를 볼 때로는 매우 흥미 롭군요. 화면에 아이콘 매트릭스 및 위치의 변화와, 그 전치되고 넓어 지지만, 높이 감소한다.

우리와 같은 더 많은 과정을 살펴 보자 행렬 곱셈. 하지만 그는 우리에게, 그리고 유용하지 않습니다,하지만 여전히 유용주의하십시오. 두 행렬 곱셈 한 테이블의 열 수는 다른 행들의 수와 동일한 것을 조건으로 만 할 수있다. 이제 하나의 매트릭스 행 요소와 대응하는 칼럼의 다른 요소를 가지고. 서로 다른 다음과 합에 곱해 (: A * B를 ₁₁ + ₁₂ * ₁₂ (B) 및 _(22), 즉, 예를 들면, 소자 _{(11, 12), 12} (B) 및도 ₂₂ (B)에서의 생성물은 동일 할 _것이다). 따라서, 하나의 테이블 항목과 유사한 방법은 충전된다.

이제 우리는 선형 방정식의 시스템을 해결하는 방법을 고려 시작할 수 있습니다.

가우스

이 테마는 학교에서 개최하기 시작했다. 우리는 아주 잘 "두 개의 선형 방정식의 시스템"의 개념을 알고이를 해결하는 방법을 알고있다. 그러나 방정식의 수는 2보다 큰 어떤 경우? 이 도움이 될 것입니다 가우스 방법.

물론,이 방법을 사용하면 시스템의 매트릭스를 만들 경우, 사용하는 것이 편리합니다. 하지만 당신은 변환 자체에 결정할 수 없습니다.

그럼, 어떻게 선형 방정식 가우스의 시스템에 의해 그것을 해결하기 위해? 그런데, 방법 비록 그 이름을 따서 명명하지만 고대에 발견했다. 가우스 결국 쉴론 폼 총합 초래하는 식으로 수행하는 동작을 갖는다. 즉, 알 수없는 일을 쇠퇴 마지막 방정식 처음부터 위에서 아래로 (제대로 배치 된 경우)에 필요합니다. 두 번째에서 세 개의 미지수, - - 세 번째에 2-1 첫 번째 : 다른 말로하면, 우리는 세 가지 방정식을, 우리가 가지고 있는지 확인해야합니다 말한다. 그리고, 마지막 등식에서, 우리는 첫 번째 알을 찾아 제 또는 제 1 식의 값을 대체하고, 또한 나머지 두 개의 변수를 찾고 있습니다.

크레이머 방법

이 기술의 개발을 위해, 행렬의 뺄셈뿐만 아니라 결정을 찾을 수있을 필요성을 첨가 기술을 습득하는 것이 중요합니다. 이 모든 일을 불편이나 방법을 모르는 경우에 따라서는 학습과 훈련이 필요하다.

이 방법의 본질은 무엇이며, 그렇게하는 방법, 선형 방정식 크레이머의 시스템을 얻으려면? 그것은 매우 간단합니다. 우리는 (거의 항상) 선형 대수 방정식의 시스템의 계수를 숫자의 행렬을 구축 할 필요가있다. 이렇게하려면 미지의 수를 가지고, 우리는 시스템에 기록 된 순서대로 테이블을 배치. 숫자가 표시되기 전에 경우 "-"우리는 음의 계수를 작성합니다. 그래서, 우리는 (- 계수 모든 미지 오른쪽 단지 숫자, 왼쪽 인 경우 식 정규형 감소되어야한다는 물론) 등호 이후의 숫자를 포함하지 않는, 미지의 계수의 제 1 행렬을 만들었다. 그럼 당신은 몇 행렬을해야 - 각 변수의 하나. 이를 위해, 제 1 행렬의 등호 이후에 하나 개의 컬럼에 의해 계수와 각각의 열 번호를 대체한다. 따라서 우리는 몇 행렬을 얻고 그들의 결정을 찾을 수 있습니다.

우리는 예선을 발견 한 후에는 작다. 우리는 초기 매트릭스를 가지고 있고, 다른 변수에 대응하는 여러 유래 기질이있다. 시스템 솔루션을 얻으려면, 우리는 초기 테이블에 결과 결정 테이블의 결정을 나눕니다. 얻어진 숫자는 한 변수 값이다. 마찬가지로, 우리는 미지수를 찾을 수 있습니다.

다른 방법

연립 일차 방정식의 해법을 얻기 위해서 여러 가지 방법이있다. 예를 들어, 또한 이차 방정식 시스템의 해법을 찾는데 사용되며, 이른바 가우스 조던있어서, 매트릭스의 용도에 관한 것이다. 선형 대수 방정식의 시스템을 해결하기위한 야 코비 방법도있다. 그는 쉽게 모든 컴퓨터에 적응 및 컴퓨팅에 사용됩니다.

복잡한 경우

방정식의 수는 변수의 수보다 적은 경우 복잡도는 일반적으로 발생한다. 그럼 우리가 확실히 말할 수있는, 또는 시스템 (즉, 더 뿌리가 없음) 일치하지 않는, 또는 그 결정의 수는 무한대로 경향이있다. 우리는 두 번째 경우가있는 경우 - 이는 선형 연립 방정식의 일반 해를 작성할 필요가있다. 그것은 적어도 하나 개의 변수가 포함됩니다.

결론

여기에서 우리는 끝났다. 요약하면 : 우리는 시스템 매트릭스, 선형 방정식의 시스템의 일반적인 해결책을 찾기 위해 배운 것을 이해해야한다. 또한 우리는 다른 옵션을 고려했다. 가우스 소거법과 : 우리는 선형 방정식의 시스템을 해결하는 방법을 알아 냈 크레이머의 규칙을. 우리는 어려운 케이스와 솔루션을 찾는 다른 방법에 대해 이야기했다.

사실,이 문제는 훨씬 더 광범위하고 더 잘 이해하려면, 우리는 당신이 전문 문학의 자세한 내용을 조언한다.